Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
Estables
Inestables
Caóticos
Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (sumidero). Un sistema inestable se escapa de los sumideross. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un sumidero por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un sumidero fijo.
Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.
Por ejemplo, el clima atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del clima en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.
Teoría del caos, aplicación meteorológica
El clima, además de ser un sistema dinámico, es muy sensible a los cambios en las variables iniciales, es un sistema transitivo y también sus órbitas periódicas son densas, lo que hace del clima un sistema apropiado para trabajarlo con matemática caótica. La precisión de las predicciones meteorológicas es relativa, y los porcentajes anunciados tienen poco significado sin una descripción detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una predicción.
Al final del siglo XX se ha vuelto común atribuirles una precisión de entre 80 y 85% en plazos de un día. Los modelos numéricos estudiados en la teoría del caos han introducido considerables mejoras en la exactitud de las previsiones meteorológicas en comparación con las predicciones anteriores, realizadas por medio de métodos subjetivos, en especial para periodos superiores a un día. En estos días es posible demostrar la confiabilidad de las predicciones específicas para periodos de hasta cinco días gracias a la densidad entre las orbitas periódicas del sistema, y se han logrado algunos éxitos en la predicción de variaciones anormales de la temperatura y la pluviosidad para periodos de hasta 30 días. No es posible contradecir la confiabilidad de las previsiones para periodos de tiempo más largos debido a que no se han adoptado aún modelos de verificación; no obstante, los meteorólogos profesionales tienden a ponerla en duda.
La Biosociología es el paradigma emergente que establece comprender el comportamiento humano integrando las incisivas penetraciones de las ciencias naturales en el pensamiento sociológico tradicional. La Biosociología no es una perspectiva "biológica"; es una perspectiva biosocial que reconoce "la constante, mútua e inseparable interacción entre la biología y el factor ambiental" (Lancaster, Altmann, Rossi, & Sherrod, 1987:2). La Biosociología no postula la causa última del comportamiento humano; más bien, intenta comprender cómo los factores biológicos interaccionan con otros factores para acabar produciendo el comportamiento observado. La Biosociología no intenta reducir la complejidad del comportamiento al mismo nivel que los procesos biológicos aislados de la influencia del comportamiento. La Biosociología insiste simplemente en que estos procesos deben ser reconocidos e incluídos en cualquier análisis del comportamiento y que éste tipo de análisis sea una constante en esos procesos.
Máquina compacta:En el caso de una máquina extensa, se utiliza el principio de la pasarela AS-i para deslocalizar un segmento AS-i. Esta puede ser una pasarela FIPIO/AS-i (descentralización de entradas/salidas) o una pasarela MODBUS/AS-i.
Máquina compacta:En el caso de una máquina extensa, se utiliza el principio de la pasarela AS-i para deslocalizar un segmento AS-i. Esta puede ser una pasarela FIPIO/AS-i (descentralización de entradas/salidas) o una pasarela MODBUS/AS-i.
martes, 9 de septiembre de 2008
lunes, 30 de junio de 2008
matematicas discretas
Qué son las Matemáticas Discretas?
Matemática discreta es la parte de la matemática encargada del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables.
En oposición al Cálculo infinitesimal, que se encarga del estudio de procesos infinitos, como la continuidad y el cambio continuo, la matemática discreta estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente, sin dar lugar a números decimales ni procesos infinitos. Es decir, los procesos en matemática discreta son finitos y contables.
Mientras que el cálculo es primordial en el estudio de procesos analógicos, la matemática discreta es la base de todo lo relacionado con los procesos digitales, y por tanto, se constituye en parte fundamental de la ciencia de la computación, una de las ramas de estudio impartidas en los estudios de Ingeniería Informática.
Matemática discreta es la parte de la matemática encargada del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables.
En oposición al Cálculo infinitesimal, que se encarga del estudio de procesos infinitos, como la continuidad y el cambio continuo, la matemática discreta estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente, sin dar lugar a números decimales ni procesos infinitos. Es decir, los procesos en matemática discreta son finitos y contables.
Mientras que el cálculo es primordial en el estudio de procesos analógicos, la matemática discreta es la base de todo lo relacionado con los procesos digitales, y por tanto, se constituye en parte fundamental de la ciencia de la computación, una de las ramas de estudio impartidas en los estudios de Ingeniería Informática.
HISTORIA DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS
HISTORIA DE NUMEROS
Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Incluso en tiempos recientes, tribus que mantenían normas de vida muy primitivas tenían los conceptos numéricos muy atrasados. Por ejemplo, se dan casos en los que no existía nombre para cantidades mayores que tres; en otros, para números un poco mayores se utilizaban términos similares a "muchos" o "incontables".
Si retrocedemos al tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del mundo occidental antiguo ( Babilonia, Egipto, Grecia y Roma), veremos que babilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos de matemáticas.
Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo XXII a. de C., un sistema de numeración útil.
Se sabe que su sistema de numeración era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Los sumerios también utilizaban este sistema de numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos.
Aunque los egipcios no hicieron aportaciones tan significativas como los griegos al desarrollo de los números, se ha encontrado un interesante documento, en el cual se demuestra que ya manejaban algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina el Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de C., y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat o Amenemes III (XII dinastía, 1850-1800 a. de J. C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones.
Cuando se debía realizar una repartición exacta, no se presentaban problemas de cálculo; sin embargo, si había que dividir 42 panes entre 10 personas, la operación se complicaba. En estos casos, los babilonios utilizaban el número decimal (4,2), mientras que los egipcios, con un sistema de numeración más primitivo, necesitaban de las fracciones para expresar estas divisiones no exactas. Conocían las fracciones de numerador 1 y de denominador 2, 3, 4 , etc., además de las fracciones 2 / 3 y 3 / 4. En el papiro de Rhind se propone un método de cálculo (bastante pesado) que permite dividir 2 entre 19 de la siguiente manera:
Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y "madre" al denominador.
Pero, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción. Creyeron que el caos entraba en su mundo ordenado, y llamaron a tal razón "alogos" o irracional.
Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. de C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos; sin embargo, no eran aceptados como soluciones de los problemas.
Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. El principio de posición (valor relativo de las cifras), las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Durante esta época, los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.
En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. Gracias a este hecho, en la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi, que en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente.
La civilización musulmana llevó estos conocimientos a Sicilia y a España, y los mercaderes árabes e italianos los adoptaron, satisfechos de no tener que llevar consigo el incómodo ábaco. Fue el mercader Leonardo Pisano quien, después de haber aprendido aquel arte de losárabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202), que difundió por Europa la numeración india.
Hasta entonces, en Europa se habían evitado losnúmeros negativos; pero en el siglo XIII, el matemático italiano Fibonacci, en un problema referente al dinero, que no tiene solución positiva, observó su necesidad. Durante el siglo XIV, los números negativos eran denominados numeri absurdi. Se debió esperar hasta el siglo XV, para que el francés Chaquet expresara por primera vez un número negativo aislado en la ecuación
4x = -2
Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, nomenclatura de origen árabe. Pero, aunque algunos problemas se solucionaban, surgían otros. Al intentar resolver ecuaciones de segundo grado como
x2 - 2x + 5 = O
y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar. Aun sin entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban para los números que conocian. Fue Cardano, durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.
El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.
Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i ( imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.
Como ha podido comprobarse, para llegar a conceptos que hoy nos parecen sencillos y lógicos, han tenido que pasar muchos siglos y muchas culturas, cada uno de los cuales ha hecho sus aportaciones al conocimiento de los números.
Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Incluso en tiempos recientes, tribus que mantenían normas de vida muy primitivas tenían los conceptos numéricos muy atrasados. Por ejemplo, se dan casos en los que no existía nombre para cantidades mayores que tres; en otros, para números un poco mayores se utilizaban términos similares a "muchos" o "incontables".
Si retrocedemos al tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del mundo occidental antiguo ( Babilonia, Egipto, Grecia y Roma), veremos que babilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos de matemáticas.
Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo XXII a. de C., un sistema de numeración útil.
Se sabe que su sistema de numeración era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Los sumerios también utilizaban este sistema de numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos.
Aunque los egipcios no hicieron aportaciones tan significativas como los griegos al desarrollo de los números, se ha encontrado un interesante documento, en el cual se demuestra que ya manejaban algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina el Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de C., y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat o Amenemes III (XII dinastía, 1850-1800 a. de J. C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones.
Cuando se debía realizar una repartición exacta, no se presentaban problemas de cálculo; sin embargo, si había que dividir 42 panes entre 10 personas, la operación se complicaba. En estos casos, los babilonios utilizaban el número decimal (4,2), mientras que los egipcios, con un sistema de numeración más primitivo, necesitaban de las fracciones para expresar estas divisiones no exactas. Conocían las fracciones de numerador 1 y de denominador 2, 3, 4 , etc., además de las fracciones 2 / 3 y 3 / 4. En el papiro de Rhind se propone un método de cálculo (bastante pesado) que permite dividir 2 entre 19 de la siguiente manera:
Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y "madre" al denominador.
Pero, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción. Creyeron que el caos entraba en su mundo ordenado, y llamaron a tal razón "alogos" o irracional.
Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. de C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos; sin embargo, no eran aceptados como soluciones de los problemas.
Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. El principio de posición (valor relativo de las cifras), las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Durante esta época, los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.
En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. Gracias a este hecho, en la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi, que en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente.
La civilización musulmana llevó estos conocimientos a Sicilia y a España, y los mercaderes árabes e italianos los adoptaron, satisfechos de no tener que llevar consigo el incómodo ábaco. Fue el mercader Leonardo Pisano quien, después de haber aprendido aquel arte de losárabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202), que difundió por Europa la numeración india.
Hasta entonces, en Europa se habían evitado losnúmeros negativos; pero en el siglo XIII, el matemático italiano Fibonacci, en un problema referente al dinero, que no tiene solución positiva, observó su necesidad. Durante el siglo XIV, los números negativos eran denominados numeri absurdi. Se debió esperar hasta el siglo XV, para que el francés Chaquet expresara por primera vez un número negativo aislado en la ecuación
4x = -2
Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, nomenclatura de origen árabe. Pero, aunque algunos problemas se solucionaban, surgían otros. Al intentar resolver ecuaciones de segundo grado como
x2 - 2x + 5 = O
y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar. Aun sin entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban para los números que conocian. Fue Cardano, durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.
El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.
Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i ( imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.
Como ha podido comprobarse, para llegar a conceptos que hoy nos parecen sencillos y lógicos, han tenido que pasar muchos siglos y muchas culturas, cada uno de los cuales ha hecho sus aportaciones al conocimiento de los números.
Aplicacion de los numeros complejos
Aplicaciones Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = ert.
domingo, 15 de junio de 2008
lunes, 9 de junio de 2008
fundamentacion y desarrollo del plan
Fundamentación.
A medida que los hombres avanzaban en sus investigaciones se les presentaban determinadas dificultades para resolver problemas matemáticos. Hasta ese entonces ya conocían los números reales, pero no podían dar solución a la raíz cuadrada de un número negativo.
Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de un número negativo, así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones son posibles.
El conjunto de los números complejos se trabaja en la educación polimodal a un nivel introductorio. Sin embargo no se consideran contenidos básicos comunes las operaciones en este conjunto numérico, éstas serán trabajadas según se las necesiten para el desarrollo de contenidos de otras disciplinas.
Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, caso que con los reales no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada “i”. Esta unidad imaginaria permite definir las operaciones con esos números.
Los números complejos le serán de muy buena utilidad para los alumnos que sigan los estudios superiores ye que se utilizan en ingeniería eléctrica y en la mecánica para una descripción adecuada de las señales periódicas variables.
Tema: Números complejos.
Curso: 5to año C. E.
Expectativas de logros:
Interpretar el concepto de número complejo.
Resolver correctamente operaciones de números complejos.
Representar gráficamente los números complejos en el plano.
Contenidos conceptuales:
1. Números complejos.
1.1. Forma binómica de un número complejo.
1.2. Unidad real y unidad imaginaria de los números complejos.
1.3. Cuadrado de la unidad imaginaria.
1.4. Operaciones con números complejos.
1.4.1 Adición de números complejos.
1.4.1.1. Propiedades.
1.4.2. Sustracción de números complejos.
1.4.3. Multiplicación de números complejos.
1.4.3.1 propiedades.
1.5. Representación gráfica de un número complejo.
1.5.1. Coordenadas cartesianas de un número complejo.
1.5.2. Coordenadas polares de un número complejo.
1.5.3. Forma trigonométrica de un número complejo.
Contenidos procedimentales:
Interpretación del concepto de números complejos.
Resolución correcta de los números complejos.
Representación gráfica de los números complejos.
Contenidos actitudinales:
Valoración del intercambio de ideas como fuente de aprendizaje.
Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsqueda de resultados.
Sentido crítico sobre los resultados obtenidos.
Actividad.
Resolver las siguientes ecuaciones y luego indica a que conjunto de números (el más reducido) pertenece la solución.
a) 3x+5=1
b) x+11=9
c) 2x=13
d) x2-3=0
e) x2+1=0
¿Algunas de estas ecuaciones les resultó difícil de resolver?
¿Pudieron resolver todas las ecuaciones?
¿Que resultado les dio el apartado “e”?
En el punto “e” la ecuación x2+1=0 no tiene solución en el conjunto de los números reales, porque no existe ningún número que verifique:
x2+1=0
x2=-1
La imposibilidad de resolver ecuaciones como ésta, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales.
Así nace un nuevo conjunto de números, el conjunto de los números complejos, denominados con la letra “C”.
Números complejos.
Definición: un número complejo, está dado por el par ordenado (a, b) pertenecientes a los reales. Estos pares ordenados poseen dos componentes, el primer elemento de cada par se llama componente real y el segundo elemento componente imaginaria.
En símbolos:
“a” es la componente real.
(a, b) Є R “b” es la componente imaginaria.
Ejemplo:
(4, 3) Є R
4 es la componente real.
3 es la componente imaginaria.
Forma binómica de un número complejo.
La forma binómica de un número complejo está dado por la expresión de la forma “a+bi”, donde “a” y “b” son números reales e “i” es la unidad imaginaria.
En símbolos:
Si Z es un nº C: Z= a+bi forma binómica.
Componente real componente imaginaria.
Unidad real y unidad imaginaria.
Llamamos unidad real al por ordenado (1, 0).
(1, 0)=1
En forma binómica seria:
1+0i=1
Llamamos unidad imaginaria al par ordenado (0, 1).
(0, 1)=i
Y en forma binómica nos queda:
0+1i=i
Cuadrado de la unidad imaginaria.
Por convención se sabe que:
Si √-1=i
i2=-1
Suponemos que “i” se comporta como un número real. Así las raíces cuadradas de todos los números negativos se pueden expresar como un producto de “i” y un número real, es decir, en términos de “i”.
Ejemplo: √-5=√-i . 5
=√-1 . √5
=i . √5, o √5i
Actividades.
Dados los siguientes complejos como pares ordenados, expresarlos en forma binómica.
a) (3, 5)
b) (1, ½)
c) (0, 5)
d) (-1, √2)
e) (√3, 0)
f) (0, -1/5)
Dados los siguientes complejos expresados en forma binómica, expresalos como pares ordenados.
a) -3+2i
b) -1-3i
c) -1/3
d) -1/5i
e) i+1
f) 2+√3i
Exprese los siguientes números en términos de “i”.
a) √-2
b) √-25
c) √-36
d) √-9/16
e) √-25/4
f) -√-16
Operaciones con números complejos.
Adición de números complejos.
¿Cómo podemos hacer para sumar dos números complejos?
Definición: la suma de dos números complejos (a, b) y (c, d) es otro número complejo tal que:
La componente real es la suma de las componentes reales.
La componente imaginaria es la suma de las componentes imaginarias.
En símbolos:
(a, b) + (c, d)= (a+c, b+d)
Ejemplo 1:
(2, 1) + (3, 9)= (2+3, 1+9)
= (5, 10)
Ejemplo 2:
(-4, 0) + (2, 5)= (-4+2, 0+5)
= (-2, 5)
Si los complejos están expresados en forma binómica, se procede aplicando las reglas comunes del cálculo algebraico:
En símbolos:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Propiedades de la adición de números complejos.
Ley de cierre: la adición de complejos es cerrada, porque la suma de dos números complejos es un número complejo, es decir:
Si Z1Є C y Z2 Є C Z1+Z2 Є C
Comprueben resolviendo el siguiente ejercicio donde Z1= (3, 4) y
Z2= (2, 5)
Ley uniforme:
Si Z1, Z2, W Є C Z1 = Z2
Z1+W = Z2+W
Podemos observar que Z1 y Z2 no varían en el resultado, si aumenta Z1 también aumenta Z2, equivale a decir que la suma de cada par de complejos es única.
Ley asociativa.
Si Z1, Z2 Y Z3 Є C (Z1+Z2)+ Z3=Z1+ (Z2+Z3)
Ejemplo: [(3, 4) + (2, 5)] + (8, 7) = (3, 4) + [(2, 5) + (8, 7)]
(13, 16) = (13, 16)
Ley conmutativa:
Si Z1 y Z2 Є C Z1+Z2 = Z2+Z1
Ejemplo: (3, 4) + (-4, 5) = (-4, 5) + (3, 4)
(-1, 9) = (-1, 9)
Elemento neutro: el elemento neutro de la adición en complejos es el número complejo (0, 0), es decir:
Si (a, b) Є C
(a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)
Ejemplo: (3, 4) + (0, 0) = (0, 0) + (3, 4)
(3, 4) = (3, 4)
Inversos aditivos: para cada número complejo (a, b) existe el número complejo (-a, -b) que verifica:
(a, b) + (-a, -b) = (-a, -b) + (a, b) = (0, 0)
Es decir que el inverso de (a, b) es (-a, -b)
Ejemplo: (3, 4) + (-3, -4) = (-3, -4) + (3, 4)
(0, 0) = (0, 0)
Sustracción de números complejos.
La sustracción es la operación inversa a la adición. Para definirla usamos el concepto de inverso aditivo.
Definición: la diferencia de dos números complejos es igual a la suma del primero más el inverso aditivo del segundo, es decir:
En símbolos: (a, b) – (c, d) = (a, b) + (-c, -d)
Ejemplo 1: (2, -4) – (5, 7) = (2, -4) + (-5, -7)
= (2-5, -4-7)
= (-3, -11)
¿Cómo nos queda este ejemplo, si la componentes están expresadas en forma binómica?
(2-4i) – (5+7i) = (2-4i) + (-5-7i)
= (2-5) + (-4-7)i
= (-3-11i)
Ejemplo 2: (1, 8) – (-5, -7) = (1, 8) + (5, 7)
= (1+5, 8+7)
= (6, 15)
Actividades.
Resuelve las siguientes operaciones.
a) (-3, 2) + (0, 4) + (-1, -2)=
b) (0.5, -1) + (-3/2, 4) + (1, -3)=
c) (0, -1/2) + (-3, 0) + (-1, -2) + (1/3, -5/2)=
d) (1/2√2, 0.4) + (√8, -3/5) + (-1.5√2, -1/5)=
e) 3/2 + (1-i) + (-2) + ( -1/4-3/4i)=
f) (√3/2+0.3i) + (3/4√12+i) + (√3-2/5i)=
Calcule las siguientes diferencias de complejos.
a) (1/2, 1) – (1/4, 2)=
b) (-0.4, 1/3) – (-1/5, 1/2)=
c) (-2, 4) – (-1, -5)=
d) (-1.5+ i) – (-3/2-i)=
e) (0.3-3/4i) – (4/5+0.5i)=
f) (1/3√5+2/3i) – (-√45-1/6i)=
Multiplicación de números complejos.
El producto de dos números complejos es otro complejo tal que:
La componente real es igual al producto de las componentes reales menos el producto de las componentes imaginarias.
La componente imaginaria es igual a la suma de los productos de la componente real de cada par por la componente imaginaria del otro.
En símbolos: CR= (CR . CR) – (CI . CI)
CI = (CR . CI) + (CR . CI)
(a, b) . (c, d) = (a.c - b.d) ; (a.d + b.c)
Ejemplo: (-3, 2) . (4, -1) = (-3 . 4)-(2 . -1); (-3 . -1) + (2 . 4)
= (-12+2; 3+8)
= (-10, 11)
Si tenemos el producto expresado en forma binómica, también podemos resolverlo con la propiedad distributiva.
Ejemplo: (-3+2i) . (4-i) = -12+3i+8i-2i2
= -12+11i-2*(-1)
= -12+2+11i
= -10+11
Propiedades de la multiplicación.
Ley de cierre.
Si Z1 y Z2 Є C Z1 . Z2 Є C
Comprueben esta propiedad, siendo Z1= (3, 4) y Z2= (2, 5)
Ley uniforme.
Si Z1, Z2 y W Є C Z1 = Z2
Comprueben con el ejercicio anterior, siendo W= (6, 1)
Ley asociativa:
Si Z1, Z2 y Z3 Є C (Z1 . Z2). Z3= Z1. (Z2 . Z3)
Verifiquen con el ejercicio de la ley de cierre, siendo Z3= (8, 7)
Ley conmutativa:
Si Z1 y Z2 Є C Z1 . Z2 = Z2 . Z1
Comprueben con los ejercicios anteriores.
Elemento neutro: el elemento neutro para la multiplicación en complejos es el par (1, 0). Es decir:
Si (a, b) Є C (a, b) . (1, 0 = (1, 0) . (a, b)
(a, b) = (a, b)
Comprueben con algún ejemplo.
Inversos multiplicativos: el inverso multiplicativo del par ordenado (a, b) es el par (x, y)= y puede indicarse como (a, b)-1.
En símbolos:
(a, b) . ( a ; b ) = (1, 0)
(a, b) . (a, b)-1 = (a, b)-1. (a, b) = (1, 0)
Ejemplo:
Actividades:
1. Calcule el producto en cada caso.
a) (2+5i) . (-4+2i)=
b) (-3, 1/2) . (-1/2, 2)=
c) (0, -2/3) . (3, -1/2)
d) (-1+ 1/2i) . ( 2+ 2i) . (-0.5+2i)=
e) (√2-i) . (-√2/2+2i)
f) (√2+1/2√3i) . (-2√2+√3i)
2. Halle el inverso multiplicativo de cada uno de los siguientes números complejos.
a) (-2, 1)
b) (-1, 1/2)=
c) (2, -3)=
d) (√2-2i)=
e) (5/2+2/3i)=
f) (1/3√25+1.2i)=
Representación gráfica de los números complejos.
Actividad.
Represente en la recta numérica los siguientes números.
a) √2 =
b) √10 =
c) √38 =
d) √2+2i =
e) (3, 5) =
¿Pudieron representar los números complejos de punto “d” y “e” en la recta numérica?
Los números complejos no pueden representarse sobre la recta numérica, esto es así por dos razones:
Los números reales completan la recta numérica.
No podemos establecer relación de orden entre los elementos de un complejo y un real.
Para representar los números complejos (sabiendo que los reales completan la recta numérica) debemos recurrir al plano, al que se denomina plano complejo, en el cual el eje de las abscisas es el eje real y el eje de las ordenadas el eje imaginario.
Ejemplo:
Si ninguna de las componentes de un complejo es nula, sus signos determinan el cuadrante en el que se encuentra
¿Cómo representamos el número complejo Z= a+bi en el plano?
Se representa mediante un punto con coordenadas (a, b).
Ejemplo: z= a+bi
También podemos representarlo mediante un vector con origen en (0, 0) y cuyo extremo es el punto de coordenadas (a, b).
Ejemplo 1: representamos Z= 2+3i Ejemplo 2: representamos Z=-4+2i
Coordenadas polares de un número complejo.
Cualquier punto del plano queda determinado dando sus coordenadas cartesianas, pero también podemos determinar su posición en el plano a través de sus coordenadas polares.
Observen la representación gráfica de Z= 3+2i
El número Z esta representado por el vector OP. La medida de su longitud es el módulo de Z=│Z│ y se simboliza con la letra griega ρ (rho).
Si el módulo de Z forma un triángulo rectángulo con el semieje real positivo. ¿Qué te teorema conocido podemos aplicar para calcular la longitud del módulo?
Para calcular la longitud del módulo podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Mod (z)=OP= ρ= √32+22
= √9+4
ρ=√13
El ángulo que forma el vector con el semieje real positivo es el argumento de Z y se simboliza con la letra griega φ (phi). El argumento de un número complejo se mide desde el semieje real positivo en sentido antihorario.
Si Z= a+bi, para hallar su argumento se puede hacer:
tg φ=
φ= tg-1.
Ejemplo: si Z = 3+2i, su argumento es :
tg φ=
φ= tg-1.
φ= 33 º41‘24”
Se debe tener en cuenta en que cuadrante está ubicado y que el argumento es
0≤ φ<360º
Cuando se conoce el módulo y el argumento de un número complejo, se dice que esta expresado en “forma polar”. Así el complejo Z= (a, b) se escribe en forma polar Z= (ρ, φ) donde ρ= │Z│ y φ= arg(z)
Ejemplo 1: Z=-1+i
Mod(z)= ρ=√ (-1)2+12
ρ= √2
Arg(z)= tg φ=
φ= tg-1.
φ= -45 º
Pero como Z esta en el segundo cuadrante su argumento es: 180º-45º=135º
Entonces expresado en coordenadas polares nos queda: Z=(√2; 135º)
Ejemplo 2: Z= -1-√3i
ρ=√ (-1)2+ (-√3)2
ρ= √1+3=
ρ= √4= 2
Arg(z)= tg φ=
φ= tg-1.
φ= 60º
Como Z se encuentra en el tercer cuadrante entonces su argumento es 270º-60= 210º
Z= (2; 210º)
Pasaje de un sistema a otro.
¿Cómo podemos hacer para pasar de un sistema a otro?
Sabemos que: Z=(a, b) son coordenadas cartesianas y que Z= (ρ, φ) son coordenadas polares.
Si observamos el grafico podemos decir que:
Sen φ= b= ρ.sen φ
Cos φ= a= ρ. cos φ
Ejemplo 1: coordenadas polares Z= (5; 90º)
Pasamos a coordenadas cartesianas:
b= ρ.sen φ a= ρ. cos φ
b= 5. sen 90º a= 5. cos 90
b= 5 a= 0
Z= (0, 5)
Ejemplo 2: coordenadas cartesianas Z= (2, √5)
Pasamos a coordenadas polares:
ρ=√22 +√52 tg φ=
ρ= 9 φ= tg-1.
φ= 48º10’22”
Z= (3, 48º10’22”)
Forma trigonométrica de un complejo.
Sea Z= a+bi
Pero a= ρ.cos φ y b= ρ.sen φ
Reemplazando en Z nos queda:
Z=ρ.cos φ+( ρ.sen φ)i
Z= ρ(cos φ+i.sen φ)
Esta es la forma trigonométrica de un complejo.
Ejemplo: Z= (5; 90º)
En forma trigonométrica Z nos queda:
Z= 5.(cos 90º+i.sen90º)
Actividades.
Represente gráficamente los siguientes números complejos.
a) Z= (3, 1)
b) Z= (-1, -6)
c) Z= (-4, 0)
d) Z= 3+5i
e) Z= -3/2 i
f) Z= -4-4i
g) Z= 1/4- 2i
2. Responde y ejemplifique las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo deben ser la primera y segunda componente de un número complejo para que determinen un vector que esté en el primer cuadrante?
b) ¿Cómo deben ser la primera y segunda componente de un número complejo para determinar un vector en el segundo cuadrante?
c) ¿Sí las componentes son ambas negativas en que cuadrante se encuentra el vector que lo representa?
3. Exprese en forma polar.
a) Z= -5+2i
b) Z= (3, 1)
c) Z= 2-7i
d) Z= -1- √3i
e) Z= -5i
f) Z= (-5-5)
g) Z= 3√3+3i
4. Exprese en forma binómica.
a) Z= (3, 30º)
b) Z= (5, 127º)
c) Z= (3, 180º)
d) Z= (4, 300º)
e) Z= (4,2, 220º)
f) Z= (3/4, 120º)
g) Z= (1/2, 90º)
Exprese en forma trigonométrica los siguientes números complejos.
a) Z= 1+i
b) Z= √3-i
c) Z= 1- √i
Estrategias metodológicas:
Propuesta de situación motivadora.
Interrogacion.
Exposición.
Recursos: tiza, pizarrón, borrador, escuadra.
Tiempo: 5 clases de 80 min. cada una.
Bibliografía:
─ DE SIMONE, Irene; TURNER, Margarita; Matemática 5, A-Z; Buenos Aires, febrero de 1993.
─ TAPIA, Nely; BIBILONI, Alicia; TAPIA, Carlos; matemática 4, Estrada, Buenos Aires, febrero de 1994.
─ LOLINA MOLOON, Andes; FELIZ, Orelvis; LAURENS, Ramón; TORIBIO, Cesar; matemática II, Santillana, Buenos Aires, marzo de 2008
A medida que los hombres avanzaban en sus investigaciones se les presentaban determinadas dificultades para resolver problemas matemáticos. Hasta ese entonces ya conocían los números reales, pero no podían dar solución a la raíz cuadrada de un número negativo.
Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de un número negativo, así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones son posibles.
El conjunto de los números complejos se trabaja en la educación polimodal a un nivel introductorio. Sin embargo no se consideran contenidos básicos comunes las operaciones en este conjunto numérico, éstas serán trabajadas según se las necesiten para el desarrollo de contenidos de otras disciplinas.
Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, caso que con los reales no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada “i”. Esta unidad imaginaria permite definir las operaciones con esos números.
Los números complejos le serán de muy buena utilidad para los alumnos que sigan los estudios superiores ye que se utilizan en ingeniería eléctrica y en la mecánica para una descripción adecuada de las señales periódicas variables.
Tema: Números complejos.
Curso: 5to año C. E.
Expectativas de logros:
Interpretar el concepto de número complejo.
Resolver correctamente operaciones de números complejos.
Representar gráficamente los números complejos en el plano.
Contenidos conceptuales:
1. Números complejos.
1.1. Forma binómica de un número complejo.
1.2. Unidad real y unidad imaginaria de los números complejos.
1.3. Cuadrado de la unidad imaginaria.
1.4. Operaciones con números complejos.
1.4.1 Adición de números complejos.
1.4.1.1. Propiedades.
1.4.2. Sustracción de números complejos.
1.4.3. Multiplicación de números complejos.
1.4.3.1 propiedades.
1.5. Representación gráfica de un número complejo.
1.5.1. Coordenadas cartesianas de un número complejo.
1.5.2. Coordenadas polares de un número complejo.
1.5.3. Forma trigonométrica de un número complejo.
Contenidos procedimentales:
Interpretación del concepto de números complejos.
Resolución correcta de los números complejos.
Representación gráfica de los números complejos.
Contenidos actitudinales:
Valoración del intercambio de ideas como fuente de aprendizaje.
Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsqueda de resultados.
Sentido crítico sobre los resultados obtenidos.
Actividad.
Resolver las siguientes ecuaciones y luego indica a que conjunto de números (el más reducido) pertenece la solución.
a) 3x+5=1
b) x+11=9
c) 2x=13
d) x2-3=0
e) x2+1=0
¿Algunas de estas ecuaciones les resultó difícil de resolver?
¿Pudieron resolver todas las ecuaciones?
¿Que resultado les dio el apartado “e”?
En el punto “e” la ecuación x2+1=0 no tiene solución en el conjunto de los números reales, porque no existe ningún número que verifique:
x2+1=0
x2=-1
La imposibilidad de resolver ecuaciones como ésta, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales.
Así nace un nuevo conjunto de números, el conjunto de los números complejos, denominados con la letra “C”.
Números complejos.
Definición: un número complejo, está dado por el par ordenado (a, b) pertenecientes a los reales. Estos pares ordenados poseen dos componentes, el primer elemento de cada par se llama componente real y el segundo elemento componente imaginaria.
En símbolos:
“a” es la componente real.
(a, b) Є R “b” es la componente imaginaria.
Ejemplo:
(4, 3) Є R
4 es la componente real.
3 es la componente imaginaria.
Forma binómica de un número complejo.
La forma binómica de un número complejo está dado por la expresión de la forma “a+bi”, donde “a” y “b” son números reales e “i” es la unidad imaginaria.
En símbolos:
Si Z es un nº C: Z= a+bi forma binómica.
Componente real componente imaginaria.
Unidad real y unidad imaginaria.
Llamamos unidad real al por ordenado (1, 0).
(1, 0)=1
En forma binómica seria:
1+0i=1
Llamamos unidad imaginaria al par ordenado (0, 1).
(0, 1)=i
Y en forma binómica nos queda:
0+1i=i
Cuadrado de la unidad imaginaria.
Por convención se sabe que:
Si √-1=i
i2=-1
Suponemos que “i” se comporta como un número real. Así las raíces cuadradas de todos los números negativos se pueden expresar como un producto de “i” y un número real, es decir, en términos de “i”.
Ejemplo: √-5=√-i . 5
=√-1 . √5
=i . √5, o √5i
Actividades.
Dados los siguientes complejos como pares ordenados, expresarlos en forma binómica.
a) (3, 5)
b) (1, ½)
c) (0, 5)
d) (-1, √2)
e) (√3, 0)
f) (0, -1/5)
Dados los siguientes complejos expresados en forma binómica, expresalos como pares ordenados.
a) -3+2i
b) -1-3i
c) -1/3
d) -1/5i
e) i+1
f) 2+√3i
Exprese los siguientes números en términos de “i”.
a) √-2
b) √-25
c) √-36
d) √-9/16
e) √-25/4
f) -√-16
Operaciones con números complejos.
Adición de números complejos.
¿Cómo podemos hacer para sumar dos números complejos?
Definición: la suma de dos números complejos (a, b) y (c, d) es otro número complejo tal que:
La componente real es la suma de las componentes reales.
La componente imaginaria es la suma de las componentes imaginarias.
En símbolos:
(a, b) + (c, d)= (a+c, b+d)
Ejemplo 1:
(2, 1) + (3, 9)= (2+3, 1+9)
= (5, 10)
Ejemplo 2:
(-4, 0) + (2, 5)= (-4+2, 0+5)
= (-2, 5)
Si los complejos están expresados en forma binómica, se procede aplicando las reglas comunes del cálculo algebraico:
En símbolos:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Propiedades de la adición de números complejos.
Ley de cierre: la adición de complejos es cerrada, porque la suma de dos números complejos es un número complejo, es decir:
Si Z1Є C y Z2 Є C Z1+Z2 Є C
Comprueben resolviendo el siguiente ejercicio donde Z1= (3, 4) y
Z2= (2, 5)
Ley uniforme:
Si Z1, Z2, W Є C Z1 = Z2
Z1+W = Z2+W
Podemos observar que Z1 y Z2 no varían en el resultado, si aumenta Z1 también aumenta Z2, equivale a decir que la suma de cada par de complejos es única.
Ley asociativa.
Si Z1, Z2 Y Z3 Є C (Z1+Z2)+ Z3=Z1+ (Z2+Z3)
Ejemplo: [(3, 4) + (2, 5)] + (8, 7) = (3, 4) + [(2, 5) + (8, 7)]
(13, 16) = (13, 16)
Ley conmutativa:
Si Z1 y Z2 Є C Z1+Z2 = Z2+Z1
Ejemplo: (3, 4) + (-4, 5) = (-4, 5) + (3, 4)
(-1, 9) = (-1, 9)
Elemento neutro: el elemento neutro de la adición en complejos es el número complejo (0, 0), es decir:
Si (a, b) Є C
(a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)
Ejemplo: (3, 4) + (0, 0) = (0, 0) + (3, 4)
(3, 4) = (3, 4)
Inversos aditivos: para cada número complejo (a, b) existe el número complejo (-a, -b) que verifica:
(a, b) + (-a, -b) = (-a, -b) + (a, b) = (0, 0)
Es decir que el inverso de (a, b) es (-a, -b)
Ejemplo: (3, 4) + (-3, -4) = (-3, -4) + (3, 4)
(0, 0) = (0, 0)
Sustracción de números complejos.
La sustracción es la operación inversa a la adición. Para definirla usamos el concepto de inverso aditivo.
Definición: la diferencia de dos números complejos es igual a la suma del primero más el inverso aditivo del segundo, es decir:
En símbolos: (a, b) – (c, d) = (a, b) + (-c, -d)
Ejemplo 1: (2, -4) – (5, 7) = (2, -4) + (-5, -7)
= (2-5, -4-7)
= (-3, -11)
¿Cómo nos queda este ejemplo, si la componentes están expresadas en forma binómica?
(2-4i) – (5+7i) = (2-4i) + (-5-7i)
= (2-5) + (-4-7)i
= (-3-11i)
Ejemplo 2: (1, 8) – (-5, -7) = (1, 8) + (5, 7)
= (1+5, 8+7)
= (6, 15)
Actividades.
Resuelve las siguientes operaciones.
a) (-3, 2) + (0, 4) + (-1, -2)=
b) (0.5, -1) + (-3/2, 4) + (1, -3)=
c) (0, -1/2) + (-3, 0) + (-1, -2) + (1/3, -5/2)=
d) (1/2√2, 0.4) + (√8, -3/5) + (-1.5√2, -1/5)=
e) 3/2 + (1-i) + (-2) + ( -1/4-3/4i)=
f) (√3/2+0.3i) + (3/4√12+i) + (√3-2/5i)=
Calcule las siguientes diferencias de complejos.
a) (1/2, 1) – (1/4, 2)=
b) (-0.4, 1/3) – (-1/5, 1/2)=
c) (-2, 4) – (-1, -5)=
d) (-1.5+ i) – (-3/2-i)=
e) (0.3-3/4i) – (4/5+0.5i)=
f) (1/3√5+2/3i) – (-√45-1/6i)=
Multiplicación de números complejos.
El producto de dos números complejos es otro complejo tal que:
La componente real es igual al producto de las componentes reales menos el producto de las componentes imaginarias.
La componente imaginaria es igual a la suma de los productos de la componente real de cada par por la componente imaginaria del otro.
En símbolos: CR= (CR . CR) – (CI . CI)
CI = (CR . CI) + (CR . CI)
(a, b) . (c, d) = (a.c - b.d) ; (a.d + b.c)
Ejemplo: (-3, 2) . (4, -1) = (-3 . 4)-(2 . -1); (-3 . -1) + (2 . 4)
= (-12+2; 3+8)
= (-10, 11)
Si tenemos el producto expresado en forma binómica, también podemos resolverlo con la propiedad distributiva.
Ejemplo: (-3+2i) . (4-i) = -12+3i+8i-2i2
= -12+11i-2*(-1)
= -12+2+11i
= -10+11
Propiedades de la multiplicación.
Ley de cierre.
Si Z1 y Z2 Є C Z1 . Z2 Є C
Comprueben esta propiedad, siendo Z1= (3, 4) y Z2= (2, 5)
Ley uniforme.
Si Z1, Z2 y W Є C Z1 = Z2
Comprueben con el ejercicio anterior, siendo W= (6, 1)
Ley asociativa:
Si Z1, Z2 y Z3 Є C (Z1 . Z2). Z3= Z1. (Z2 . Z3)
Verifiquen con el ejercicio de la ley de cierre, siendo Z3= (8, 7)
Ley conmutativa:
Si Z1 y Z2 Є C Z1 . Z2 = Z2 . Z1
Comprueben con los ejercicios anteriores.
Elemento neutro: el elemento neutro para la multiplicación en complejos es el par (1, 0). Es decir:
Si (a, b) Є C (a, b) . (1, 0 = (1, 0) . (a, b)
(a, b) = (a, b)
Comprueben con algún ejemplo.
Inversos multiplicativos: el inverso multiplicativo del par ordenado (a, b) es el par (x, y)= y puede indicarse como (a, b)-1.
En símbolos:
(a, b) . ( a ; b ) = (1, 0)
(a, b) . (a, b)-1 = (a, b)-1. (a, b) = (1, 0)
Ejemplo:
Actividades:
1. Calcule el producto en cada caso.
a) (2+5i) . (-4+2i)=
b) (-3, 1/2) . (-1/2, 2)=
c) (0, -2/3) . (3, -1/2)
d) (-1+ 1/2i) . ( 2+ 2i) . (-0.5+2i)=
e) (√2-i) . (-√2/2+2i)
f) (√2+1/2√3i) . (-2√2+√3i)
2. Halle el inverso multiplicativo de cada uno de los siguientes números complejos.
a) (-2, 1)
b) (-1, 1/2)=
c) (2, -3)=
d) (√2-2i)=
e) (5/2+2/3i)=
f) (1/3√25+1.2i)=
Representación gráfica de los números complejos.
Actividad.
Represente en la recta numérica los siguientes números.
a) √2 =
b) √10 =
c) √38 =
d) √2+2i =
e) (3, 5) =
¿Pudieron representar los números complejos de punto “d” y “e” en la recta numérica?
Los números complejos no pueden representarse sobre la recta numérica, esto es así por dos razones:
Los números reales completan la recta numérica.
No podemos establecer relación de orden entre los elementos de un complejo y un real.
Para representar los números complejos (sabiendo que los reales completan la recta numérica) debemos recurrir al plano, al que se denomina plano complejo, en el cual el eje de las abscisas es el eje real y el eje de las ordenadas el eje imaginario.
Ejemplo:
Si ninguna de las componentes de un complejo es nula, sus signos determinan el cuadrante en el que se encuentra
¿Cómo representamos el número complejo Z= a+bi en el plano?
Se representa mediante un punto con coordenadas (a, b).
Ejemplo: z= a+bi
También podemos representarlo mediante un vector con origen en (0, 0) y cuyo extremo es el punto de coordenadas (a, b).
Ejemplo 1: representamos Z= 2+3i Ejemplo 2: representamos Z=-4+2i
Coordenadas polares de un número complejo.
Cualquier punto del plano queda determinado dando sus coordenadas cartesianas, pero también podemos determinar su posición en el plano a través de sus coordenadas polares.
Observen la representación gráfica de Z= 3+2i
El número Z esta representado por el vector OP. La medida de su longitud es el módulo de Z=│Z│ y se simboliza con la letra griega ρ (rho).
Si el módulo de Z forma un triángulo rectángulo con el semieje real positivo. ¿Qué te teorema conocido podemos aplicar para calcular la longitud del módulo?
Para calcular la longitud del módulo podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Mod (z)=OP= ρ= √32+22
= √9+4
ρ=√13
El ángulo que forma el vector con el semieje real positivo es el argumento de Z y se simboliza con la letra griega φ (phi). El argumento de un número complejo se mide desde el semieje real positivo en sentido antihorario.
Si Z= a+bi, para hallar su argumento se puede hacer:
tg φ=
φ= tg-1.
Ejemplo: si Z = 3+2i, su argumento es :
tg φ=
φ= tg-1.
φ= 33 º41‘24”
Se debe tener en cuenta en que cuadrante está ubicado y que el argumento es
0≤ φ<360º
Cuando se conoce el módulo y el argumento de un número complejo, se dice que esta expresado en “forma polar”. Así el complejo Z= (a, b) se escribe en forma polar Z= (ρ, φ) donde ρ= │Z│ y φ= arg(z)
Ejemplo 1: Z=-1+i
Mod(z)= ρ=√ (-1)2+12
ρ= √2
Arg(z)= tg φ=
φ= tg-1.
φ= -45 º
Pero como Z esta en el segundo cuadrante su argumento es: 180º-45º=135º
Entonces expresado en coordenadas polares nos queda: Z=(√2; 135º)
Ejemplo 2: Z= -1-√3i
ρ=√ (-1)2+ (-√3)2
ρ= √1+3=
ρ= √4= 2
Arg(z)= tg φ=
φ= tg-1.
φ= 60º
Como Z se encuentra en el tercer cuadrante entonces su argumento es 270º-60= 210º
Z= (2; 210º)
Pasaje de un sistema a otro.
¿Cómo podemos hacer para pasar de un sistema a otro?
Sabemos que: Z=(a, b) son coordenadas cartesianas y que Z= (ρ, φ) son coordenadas polares.
Si observamos el grafico podemos decir que:
Sen φ= b= ρ.sen φ
Cos φ= a= ρ. cos φ
Ejemplo 1: coordenadas polares Z= (5; 90º)
Pasamos a coordenadas cartesianas:
b= ρ.sen φ a= ρ. cos φ
b= 5. sen 90º a= 5. cos 90
b= 5 a= 0
Z= (0, 5)
Ejemplo 2: coordenadas cartesianas Z= (2, √5)
Pasamos a coordenadas polares:
ρ=√22 +√52 tg φ=
ρ= 9 φ= tg-1.
φ= 48º10’22”
Z= (3, 48º10’22”)
Forma trigonométrica de un complejo.
Sea Z= a+bi
Pero a= ρ.cos φ y b= ρ.sen φ
Reemplazando en Z nos queda:
Z=ρ.cos φ+( ρ.sen φ)i
Z= ρ(cos φ+i.sen φ)
Esta es la forma trigonométrica de un complejo.
Ejemplo: Z= (5; 90º)
En forma trigonométrica Z nos queda:
Z= 5.(cos 90º+i.sen90º)
Actividades.
Represente gráficamente los siguientes números complejos.
a) Z= (3, 1)
b) Z= (-1, -6)
c) Z= (-4, 0)
d) Z= 3+5i
e) Z= -3/2 i
f) Z= -4-4i
g) Z= 1/4- 2i
2. Responde y ejemplifique las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo deben ser la primera y segunda componente de un número complejo para que determinen un vector que esté en el primer cuadrante?
b) ¿Cómo deben ser la primera y segunda componente de un número complejo para determinar un vector en el segundo cuadrante?
c) ¿Sí las componentes son ambas negativas en que cuadrante se encuentra el vector que lo representa?
3. Exprese en forma polar.
a) Z= -5+2i
b) Z= (3, 1)
c) Z= 2-7i
d) Z= -1- √3i
e) Z= -5i
f) Z= (-5-5)
g) Z= 3√3+3i
4. Exprese en forma binómica.
a) Z= (3, 30º)
b) Z= (5, 127º)
c) Z= (3, 180º)
d) Z= (4, 300º)
e) Z= (4,2, 220º)
f) Z= (3/4, 120º)
g) Z= (1/2, 90º)
Exprese en forma trigonométrica los siguientes números complejos.
a) Z= 1+i
b) Z= √3-i
c) Z= 1- √i
Estrategias metodológicas:
Propuesta de situación motivadora.
Interrogacion.
Exposición.
Recursos: tiza, pizarrón, borrador, escuadra.
Tiempo: 5 clases de 80 min. cada una.
Bibliografía:
─ DE SIMONE, Irene; TURNER, Margarita; Matemática 5, A-Z; Buenos Aires, febrero de 1993.
─ TAPIA, Nely; BIBILONI, Alicia; TAPIA, Carlos; matemática 4, Estrada, Buenos Aires, febrero de 1994.
─ LOLINA MOLOON, Andes; FELIZ, Orelvis; LAURENS, Ramón; TORIBIO, Cesar; matemática II, Santillana, Buenos Aires, marzo de 2008
PLAN DE CLASE
Tema: NÚMEROS COMPLEJOS.
Profesora: CONIGLIO, ALEJANDRA.
Profesora de cátedra: BRIZZIO, ALEJANDRA.
Alumno: TORREZ, RAÚL RENZO.
Curso: MATEMÀTICA IV
Año: 200
Profesora: CONIGLIO, ALEJANDRA.
Profesora de cátedra: BRIZZIO, ALEJANDRA.
Alumno: TORREZ, RAÚL RENZO.
Curso: MATEMÀTICA IV
Año: 200
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