fundamentacion y desarrollo del plan

Fundamentación.

A medida que los hombres avanzaban en sus investigaciones se les presentaban determinadas dificultades para resolver problemas matemáticos. Hasta ese entonces ya conocían los números reales, pero no podían dar solución a la raíz cuadrada de un número negativo.
Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de un número negativo, así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones son posibles.
El conjunto de los números complejos se trabaja en la educación polimodal a un nivel introductorio. Sin embargo no se consideran contenidos básicos comunes las operaciones en este conjunto numérico, éstas serán trabajadas según se las necesiten para el desarrollo de contenidos de otras disciplinas.
Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, caso que con los reales no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada “i”. Esta unidad imaginaria permite definir las operaciones con esos números.
Los números complejos le serán de muy buena utilidad para los alumnos que sigan los estudios superiores ye que se utilizan en ingeniería eléctrica y en la mecánica para una descripción adecuada de las señales periódicas variables.



Tema: Números complejos.

Curso: 5to año C. E.
Expectativas de logros:

Interpretar el concepto de número complejo.
Resolver correctamente operaciones de números complejos.
Representar gráficamente los números complejos en el plano.

Contenidos conceptuales:

1. Números complejos.
1.1. Forma binómica de un número complejo.
1.2. Unidad real y unidad imaginaria de los números complejos.
1.3. Cuadrado de la unidad imaginaria.
1.4. Operaciones con números complejos.
1.4.1 Adición de números complejos.
1.4.1.1. Propiedades.
1.4.2. Sustracción de números complejos.
1.4.3. Multiplicación de números complejos.
1.4.3.1 propiedades.
1.5. Representación gráfica de un número complejo.
1.5.1. Coordenadas cartesianas de un número complejo.
1.5.2. Coordenadas polares de un número complejo.
1.5.3. Forma trigonométrica de un número complejo.

Contenidos procedimentales:

Interpretación del concepto de números complejos.
Resolución correcta de los números complejos.
Representación gráfica de los números complejos.

Contenidos actitudinales:

Valoración del intercambio de ideas como fuente de aprendizaje.
Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsqueda de resultados.
Sentido crítico sobre los resultados obtenidos.
Actividad.
Resolver las siguientes ecuaciones y luego indica a que conjunto de números (el más reducido) pertenece la solución.

a) 3x+5=1
b) x+11=9
c) 2x=13
d) x2-3=0
e) x2+1=0

¿Algunas de estas ecuaciones les resultó difícil de resolver?
¿Pudieron resolver todas las ecuaciones?
¿Que resultado les dio el apartado “e”?

En el punto “e” la ecuación x2+1=0 no tiene solución en el conjunto de los números reales, porque no existe ningún número que verifique:

x2+1=0
x2=-1
La imposibilidad de resolver ecuaciones como ésta, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales.
Así nace un nuevo conjunto de números, el conjunto de los números complejos, denominados con la letra “C”.

Números complejos.

Definición: un número complejo, está dado por el par ordenado (a, b) pertenecientes a los reales. Estos pares ordenados poseen dos componentes, el primer elemento de cada par se llama componente real y el segundo elemento componente imaginaria.

En símbolos:

“a” es la componente real.
(a, b) Є R “b” es la componente imaginaria.

Ejemplo:

(4, 3) Є R

4 es la componente real.
3 es la componente imaginaria.

Forma binómica de un número complejo.

La forma binómica de un número complejo está dado por la expresión de la forma “a+bi”, donde “a” y “b” son números reales e “i” es la unidad imaginaria.



En símbolos:
Si Z es un nº C: Z= a+bi forma binómica.

Componente real componente imaginaria.

Unidad real y unidad imaginaria.

Llamamos unidad real al por ordenado (1, 0).

(1, 0)=1

En forma binómica seria:


1+0i=1

Llamamos unidad imaginaria al par ordenado (0, 1).

(0, 1)=i

Y en forma binómica nos queda:

0+1i=i

Cuadrado de la unidad imaginaria.

Por convención se sabe que:

Si √-1=i
i2=-1
Suponemos que “i” se comporta como un número real. Así las raíces cuadradas de todos los números negativos se pueden expresar como un producto de “i” y un número real, es decir, en términos de “i”.

Ejemplo: √-5=√-i . 5
=√-1 . √5
=i . √5, o √5i
Actividades.

Dados los siguientes complejos como pares ordenados, expresarlos en forma binómica.

a) (3, 5)
b) (1, ½)
c) (0, 5)
d) (-1, √2)
e) (√3, 0)
f) (0, -1/5)
Dados los siguientes complejos expresados en forma binómica, expresalos como pares ordenados.

a) -3+2i
b) -1-3i
c) -1/3
d) -1/5i
e) i+1
f) 2+√3i

Exprese los siguientes números en términos de “i”.

a) √-2
b) √-25
c) √-36
d) √-9/16
e) √-25/4
f) -√-16

Operaciones con números complejos.
Adición de números complejos.

¿Cómo podemos hacer para sumar dos números complejos?

Definición: la suma de dos números complejos (a, b) y (c, d) es otro número complejo tal que:

La componente real es la suma de las componentes reales.
La componente imaginaria es la suma de las componentes imaginarias.

En símbolos:
(a, b) + (c, d)= (a+c, b+d)
Ejemplo 1:
(2, 1) + (3, 9)= (2+3, 1+9)
= (5, 10)
Ejemplo 2:
(-4, 0) + (2, 5)= (-4+2, 0+5)
= (-2, 5)

Si los complejos están expresados en forma binómica, se procede aplicando las reglas comunes del cálculo algebraico:

En símbolos:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i






Propiedades de la adición de números complejos.

Ley de cierre: la adición de complejos es cerrada, porque la suma de dos números complejos es un número complejo, es decir:

Si Z1Є C y Z2 Є C Z1+Z2 Є C
Comprueben resolviendo el siguiente ejercicio donde Z1= (3, 4) y
Z2= (2, 5)

Ley uniforme:

Si Z1, Z2, W Є C Z1 = Z2
Z1+W = Z2+W
Podemos observar que Z1 y Z2 no varían en el resultado, si aumenta Z1 también aumenta Z2, equivale a decir que la suma de cada par de complejos es única.

Ley asociativa.

Si Z1, Z2 Y Z3 Є C (Z1+Z2)+ Z3=Z1+ (Z2+Z3)

Ejemplo: [(3, 4) + (2, 5)] + (8, 7) = (3, 4) + [(2, 5) + (8, 7)]
(13, 16) = (13, 16)

Ley conmutativa:

Si Z1 y Z2 Є C Z1+Z2 = Z2+Z1

Ejemplo: (3, 4) + (-4, 5) = (-4, 5) + (3, 4)
(-1, 9) = (-1, 9)

Elemento neutro: el elemento neutro de la adición en complejos es el número complejo (0, 0), es decir:
Si (a, b) Є C
(a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)

Ejemplo: (3, 4) + (0, 0) = (0, 0) + (3, 4)
(3, 4) = (3, 4)

Inversos aditivos: para cada número complejo (a, b) existe el número complejo (-a, -b) que verifica:

(a, b) + (-a, -b) = (-a, -b) + (a, b) = (0, 0)
Es decir que el inverso de (a, b) es (-a, -b)

Ejemplo: (3, 4) + (-3, -4) = (-3, -4) + (3, 4)
(0, 0) = (0, 0)




Sustracción de números complejos.

La sustracción es la operación inversa a la adición. Para definirla usamos el concepto de inverso aditivo.

Definición: la diferencia de dos números complejos es igual a la suma del primero más el inverso aditivo del segundo, es decir:

En símbolos: (a, b) – (c, d) = (a, b) + (-c, -d)

Ejemplo 1: (2, -4) – (5, 7) = (2, -4) + (-5, -7)
= (2-5, -4-7)
= (-3, -11)
¿Cómo nos queda este ejemplo, si la componentes están expresadas en forma binómica?
(2-4i) – (5+7i) = (2-4i) + (-5-7i)
= (2-5) + (-4-7)i
= (-3-11i)

Ejemplo 2: (1, 8) – (-5, -7) = (1, 8) + (5, 7)
= (1+5, 8+7)
= (6, 15)

Actividades.
Resuelve las siguientes operaciones.

a) (-3, 2) + (0, 4) + (-1, -2)=
b) (0.5, -1) + (-3/2, 4) + (1, -3)=
c) (0, -1/2) + (-3, 0) + (-1, -2) + (1/3, -5/2)=
d) (1/2√2, 0.4) + (√8, -3/5) + (-1.5√2, -1/5)=
e) 3/2 + (1-i) + (-2) + ( -1/4-3/4i)=
f) (√3/2+0.3i) + (3/4√12+i) + (√3-2/5i)=

Calcule las siguientes diferencias de complejos.

a) (1/2, 1) – (1/4, 2)=
b) (-0.4, 1/3) – (-1/5, 1/2)=
c) (-2, 4) – (-1, -5)=
d) (-1.5+ i) – (-3/2-i)=
e) (0.3-3/4i) – (4/5+0.5i)=
f) (1/3√5+2/3i) – (-√45-1/6i)=

Multiplicación de números complejos.

El producto de dos números complejos es otro complejo tal que:
La componente real es igual al producto de las componentes reales menos el producto de las componentes imaginarias.
La componente imaginaria es igual a la suma de los productos de la componente real de cada par por la componente imaginaria del otro.


En símbolos: CR= (CR . CR) – (CI . CI)
CI = (CR . CI) + (CR . CI)

(a, b) . (c, d) = (a.c - b.d) ; (a.d + b.c)

Ejemplo: (-3, 2) . (4, -1) = (-3 . 4)-(2 . -1); (-3 . -1) + (2 . 4)
= (-12+2; 3+8)
= (-10, 11)

Si tenemos el producto expresado en forma binómica, también podemos resolverlo con la propiedad distributiva.

Ejemplo: (-3+2i) . (4-i) = -12+3i+8i-2i2
= -12+11i-2*(-1)
= -12+2+11i
= -10+11

Propiedades de la multiplicación.

Ley de cierre.

Si Z1 y Z2 Є C Z1 . Z2 Є C
Comprueben esta propiedad, siendo Z1= (3, 4) y Z2= (2, 5)

Ley uniforme.

Si Z1, Z2 y W Є C Z1 = Z2
Comprueben con el ejercicio anterior, siendo W= (6, 1)

Ley asociativa:

Si Z1, Z2 y Z3 Є C (Z1 . Z2). Z3= Z1. (Z2 . Z3)
Verifiquen con el ejercicio de la ley de cierre, siendo Z3= (8, 7)

Ley conmutativa:

Si Z1 y Z2 Є C Z1 . Z2 = Z2 . Z1
Comprueben con los ejercicios anteriores.

Elemento neutro: el elemento neutro para la multiplicación en complejos es el par (1, 0). Es decir:

Si (a, b) Є C (a, b) . (1, 0 = (1, 0) . (a, b)
(a, b) = (a, b)
Comprueben con algún ejemplo.

Inversos multiplicativos: el inverso multiplicativo del par ordenado (a, b) es el par (x, y)= y puede indicarse como (a, b)-1.


En símbolos:

(a, b) . ( a ; b ) = (1, 0)

(a, b) . (a, b)-1 = (a, b)-1. (a, b) = (1, 0)

Ejemplo:







Actividades:
1. Calcule el producto en cada caso.

a) (2+5i) . (-4+2i)=
b) (-3, 1/2) . (-1/2, 2)=
c) (0, -2/3) . (3, -1/2)
d) (-1+ 1/2i) . ( 2+ 2i) . (-0.5+2i)=
e) (√2-i) . (-√2/2+2i)
f) (√2+1/2√3i) . (-2√2+√3i)

2. Halle el inverso multiplicativo de cada uno de los siguientes números complejos.

a) (-2, 1)
b) (-1, 1/2)=
c) (2, -3)=
d) (√2-2i)=
e) (5/2+2/3i)=
f) (1/3√25+1.2i)=

Representación gráfica de los números complejos.

Actividad.
Represente en la recta numérica los siguientes números.

a) √2 =
b) √10 =
c) √38 =
d) √2+2i =
e) (3, 5) =

¿Pudieron representar los números complejos de punto “d” y “e” en la recta numérica?
Los números complejos no pueden representarse sobre la recta numérica, esto es así por dos razones:
Los números reales completan la recta numérica.
No podemos establecer relación de orden entre los elementos de un complejo y un real.
Para representar los números complejos (sabiendo que los reales completan la recta numérica) debemos recurrir al plano, al que se denomina plano complejo, en el cual el eje de las abscisas es el eje real y el eje de las ordenadas el eje imaginario.

Ejemplo:









Si ninguna de las componentes de un complejo es nula, sus signos determinan el cuadrante en el que se encuentra

¿Cómo representamos el número complejo Z= a+bi en el plano?
Se representa mediante un punto con coordenadas (a, b).

Ejemplo: z= a+bi









También podemos representarlo mediante un vector con origen en (0, 0) y cuyo extremo es el punto de coordenadas (a, b).







Ejemplo 1: representamos Z= 2+3i Ejemplo 2: representamos Z=-4+2i










Coordenadas polares de un número complejo.

Cualquier punto del plano queda determinado dando sus coordenadas cartesianas, pero también podemos determinar su posición en el plano a través de sus coordenadas polares.

Observen la representación gráfica de Z= 3+2i








El número Z esta representado por el vector OP. La medida de su longitud es el módulo de Z=│Z│ y se simboliza con la letra griega ρ (rho).

Si el módulo de Z forma un triángulo rectángulo con el semieje real positivo. ¿Qué te teorema conocido podemos aplicar para calcular la longitud del módulo?
Para calcular la longitud del módulo podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo:
Mod (z)=OP= ρ= √32+22
= √9+4
ρ=√13
El ángulo que forma el vector con el semieje real positivo es el argumento de Z y se simboliza con la letra griega φ (phi). El argumento de un número complejo se mide desde el semieje real positivo en sentido antihorario.
Si Z= a+bi, para hallar su argumento se puede hacer:

tg φ=
φ= tg-1.

Ejemplo: si Z = 3+2i, su argumento es :

tg φ=
φ= tg-1.
φ= 33 º41‘24”
Se debe tener en cuenta en que cuadrante está ubicado y que el argumento es
0≤ φ<360º
Cuando se conoce el módulo y el argumento de un número complejo, se dice que esta expresado en “forma polar”. Así el complejo Z= (a, b) se escribe en forma polar Z= (ρ, φ) donde ρ= │Z│ y φ= arg(z)



Ejemplo 1: Z=-1+i

Mod(z)= ρ=√ (-1)2+12
ρ= √2

Arg(z)= tg φ=
φ= tg-1.
φ= -45 º
Pero como Z esta en el segundo cuadrante su argumento es: 180º-45º=135º
Entonces expresado en coordenadas polares nos queda: Z=(√2; 135º)

Ejemplo 2: Z= -1-√3i

ρ=√ (-1)2+ (-√3)2
ρ= √1+3=
ρ= √4= 2

Arg(z)= tg φ=
φ= tg-1.
φ= 60º
Como Z se encuentra en el tercer cuadrante entonces su argumento es 270º-60= 210º
Z= (2; 210º)

Pasaje de un sistema a otro.

¿Cómo podemos hacer para pasar de un sistema a otro?

Sabemos que: Z=(a, b) son coordenadas cartesianas y que Z= (ρ, φ) son coordenadas polares.
Si observamos el grafico podemos decir que:



Sen φ= b= ρ.sen φ
Cos φ= a= ρ. cos φ




Ejemplo 1: coordenadas polares Z= (5; 90º)
Pasamos a coordenadas cartesianas:

b= ρ.sen φ a= ρ. cos φ
b= 5. sen 90º a= 5. cos 90
b= 5 a= 0
Z= (0, 5)

Ejemplo 2: coordenadas cartesianas Z= (2, √5)
Pasamos a coordenadas polares:

ρ=√22 +√52 tg φ=
ρ= 9 φ= tg-1.
φ= 48º10’22”
Z= (3, 48º10’22”)

Forma trigonométrica de un complejo.

Sea Z= a+bi
Pero a= ρ.cos φ y b= ρ.sen φ
Reemplazando en Z nos queda:
Z=ρ.cos φ+( ρ.sen φ)i

Z= ρ(cos φ+i.sen φ)
Esta es la forma trigonométrica de un complejo.

Ejemplo: Z= (5; 90º)
En forma trigonométrica Z nos queda:

Z= 5.(cos 90º+i.sen90º)

Actividades.
Represente gráficamente los siguientes números complejos.

a) Z= (3, 1)
b) Z= (-1, -6)
c) Z= (-4, 0)
d) Z= 3+5i
e) Z= -3/2 i
f) Z= -4-4i
g) Z= 1/4- 2i

2. Responde y ejemplifique las siguientes preguntas.

a) ¿Cómo deben ser la primera y segunda componente de un número complejo para que determinen un vector que esté en el primer cuadrante?
b) ¿Cómo deben ser la primera y segunda componente de un número complejo para determinar un vector en el segundo cuadrante?
c) ¿Sí las componentes son ambas negativas en que cuadrante se encuentra el vector que lo representa?

3. Exprese en forma polar.

a) Z= -5+2i
b) Z= (3, 1)
c) Z= 2-7i
d) Z= -1- √3i
e) Z= -5i
f) Z= (-5-5)
g) Z= 3√3+3i

4. Exprese en forma binómica.

a) Z= (3, 30º)
b) Z= (5, 127º)
c) Z= (3, 180º)
d) Z= (4, 300º)
e) Z= (4,2, 220º)
f) Z= (3/4, 120º)
g) Z= (1/2, 90º)

Exprese en forma trigonométrica ­los siguientes números complejos.

a) Z= 1+i
b) Z= √3-i
c) Z= 1- √i

Estrategias metodológicas:

Propuesta de situación motivadora.
Interrogacion.
Exposición.

Recursos: tiza, pizarrón, borrador, escuadra.

Tiempo: 5 clases de 80 min. cada una.

Bibliografía:

─ DE SIMONE, Irene; TURNER, Margarita; Matemática 5, A-Z; Buenos Aires, febrero de 1993.
─ TAPIA, Nely; BIBILONI, Alicia; TAPIA, Carlos; matemática 4, Estrada, Buenos Aires, febrero de 1994.
─ LOLINA MOLOON, Andes; FELIZ, Orelvis; LAURENS, Ramón; TORIBIO, Cesar; matemática II, Santillana, Buenos Aires, marzo de 2008